phương trình \(\frac{\left(1+\sin x+\cos2x\right)\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{1+\tan x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\) có các nghiệm dạng x=\(\alpha+k2;\beta+k2\pi;\alpha\ne\beta;k\in Z;-\pi\le\alpha;\beta\le\pi\) tính \(\alpha^2+\beta^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HP
1 tháng 6 2021
2.
ĐK: \(2x-y\ge0;y\ge0;y-x-1\ge0;y-3x+5\ge0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}xy-2y-3=\sqrt{y-x-1}+\sqrt{y-3x+5}\left(1\right)\\\left(1-y\right)\sqrt{2x-y}+2\left(x-1\right)=\left(2x-y-1\right)\sqrt{y}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(1-y\right)\sqrt{2x-y}+y-1+2x-y-1-\left(2x-y-1\right)\sqrt{y}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-y\right)\left(\sqrt{2x-y}-1\right)+\left(2x-y-1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{2x-y}-1\right)\left(1+\sqrt{y}\right)+\left(\sqrt{2x-y}-1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{2x-y}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{2x-y}-1\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{2x-y}+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=2x-1\end{matrix}\right.\) (Vì \(\sqrt{y}+\sqrt{2x-y}+2>0\))
Nếu \(y=1\), khi đó:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x-5=\sqrt{-x}+\sqrt{-3x+6}\)
Phương trình này vô nghiệm
Nếu \(y=2x-1\), khi đó:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow2x^2-5x-1=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\) (Điều kiện: \(2\le x\le4\))
\(\Leftrightarrow2x\left(x-3\right)+x-3+1-\sqrt{x-2}+1-\sqrt{4-x}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\dfrac{1}{1+\sqrt{4-x}}-\dfrac{1}{1+\sqrt{x-2}}+2x+1\right)=0\)
Ta thấy: \(1+\sqrt{x-2}\ge1\Rightarrow-\dfrac{1}{1+\sqrt{x-2}}\ge-1\Rightarrow1-\dfrac{1}{1+\sqrt{x-2}}\ge0\)
Lại có: \(\dfrac{1}{1+\sqrt{4-x}}>0\); \(2x>0\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+\sqrt{4-x}}-\dfrac{1}{1+\sqrt{x-2}}+2x+1>0\)
Nên phương trình \(\left(1\right)\) tương đương \(x-3=0\Leftrightarrow x=3\Rightarrow y=5\)
Ta thấy \(\left(x;y\right)=\left(3;5\right)\) thỏa mãn điều kiện ban đầu.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(3;5\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 7 2020
1.
Ý tưởng thế này: nhìn vế trái phần đáp án có \(tan\left(a+b\right)\) nên cần biến đổi giả thiết xuất hiện \(sin\left(a+b\right)\) , vậy ta làm như sau:
\(sina.cos\left(a+b\right)=sin\left(a+b-a\right)\)
\(\Leftrightarrow sina.cos\left(a+b\right)=sin\left(a+b\right).cosa-cos\left(a+b\right).sina\)
\(\Leftrightarrow2sina.cos\left(a+b\right)=sin\left(a+b\right).cosa\)
\(\Rightarrow2tana=tan\left(a+b\right)\)
2.
Đây là 1 dạng cơ bản, nhìn vào lập tức cần ghép x với 3x (đơn giản vì \(\frac{x+3x}{2}=2x\))
\(A=\frac{sin3x-sinx+cos2x}{cosx-cos3x+sin2x}=\frac{2cos2x.sinx+cos2x}{2sin2x.sinx+sin2x}=\frac{cos2x\left(2sinx+1\right)}{sin2x\left(2sinx+1\right)}\)
\(=\frac{cos2x}{sin2x}=cot2x\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 4 2021
1.
\(2cos\left(a+b\right)=cosa.cos\left(\pi+b\right)\)
\(\Leftrightarrow2cosa.cosb-2sina.sinb=-cosa.cosb\)
\(\Leftrightarrow2sina.sinb=3cosa.cosb\Rightarrow4sin^2a.sin^2b=9cos^2a.cos^2b\)
\(\Rightarrow4\left(1-cos^2a\right)\left(1-cos^2b\right)=9cos^2a.cos^2b\)
\(\Leftrightarrow4-4\left(cos^2a+cos^2b\right)=5cos^2a.cos^2b\)
\(A=\dfrac{1}{cos^2a+2\left(sin^2a+cos^2a\right)}+\dfrac{1}{cos^2b+2\left(sin^2b+cos^2b\right)}\)
\(=\dfrac{1}{2+cos^2a}+\dfrac{1}{2+cos^2b}=\dfrac{4+cos^2a+cos^2b}{4+2\left(cos^2a+cos^2b\right)+cos^2a.cos^2b}\)
\(=\dfrac{4+cos^2a+cos^2b}{4+2\left(cos^2a+cos^2b\right)+\dfrac{4}{5}-\dfrac{4}{5}\left(cos^2a+cos^2b\right)}=\dfrac{4+cos^2a+cos^2b}{\dfrac{24}{5}+\dfrac{6}{5}\left(cos^2a+cos^2b\right)}=\dfrac{5}{6}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 4 2021
2.
\(A=2cos\dfrac{2x}{3}\left(cos\dfrac{2\pi}{3}+cos\dfrac{4x}{3}\right)=2cos\dfrac{2x}{3}\left(cos\dfrac{4x}{3}-\dfrac{1}{2}\right)\)
\(=2cos\dfrac{2x}{3}.cos\dfrac{4x}{3}-cos\dfrac{2x}{3}\)
\(=cos3x+cos\dfrac{2x}{3}-cos\dfrac{2x}{3}\)
\(=cos3x\)
\(B=\dfrac{cos2b-cos2a}{cos^2a.sin^2b}-tan^2a.cot^2b=\dfrac{1-2sin^2b-\left(1-2sin^2a\right)}{cos^2a.sin^2b}-tan^2a.cot^2b\)
\(=\dfrac{2sin^2a-2sin^2b}{cos^2a.sin^2b}-tan^2a.cot^2b=2tan^2a\left(1+cot^2b\right)-2\left(1+tan^2a\right)-tan^2a.cot^2b\)
\(=2tan^2a+2tan^2a.cot^2b-2-2tan^2a-tan^2a.cot^2b\)
\(=tan^2a.cot^2b-2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 10 2019
ĐKXĐ: ...
\(\Leftrightarrow\frac{3cos^2x}{sin^2x}-2cosx+2\sqrt{2}sin^2x-3\sqrt{2}cosx=0\)
\(\Leftrightarrow cosx\left(\frac{3cosx-2sin^2x}{sin^2x}\right)-\sqrt{2}\left(3cosx-2sin^2x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(3cosx-2sin^2x\right)\left(\frac{cosx}{sin^2x}-\sqrt{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3cosx-2sin^2x=0\\cosx-\sqrt{2}sin^2x=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2cos^2x+3cosx-2=0\\\sqrt{2}cos^2x+cosx-\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=\frac{1}{2}\\cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\frac{\pi}{4}+k2\pi\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\alpha.\beta=\frac{\pi^2}{12}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 5 2020
\(A=cos^2a+cos^2b+2cosa.cosb+sin^2a+sin^2b+2sina.sinb\)
\(=2+2\left(cosa.cosb+sina.sinb\right)\)
\(=2+2.cos\left(a-b\right)=2+2.cos\frac{\pi}{3}=3\)
\(B=cos^2a+sin^2b+2cosa.sinb+cos^2b+sin^2a-2sina.cosb\)
\(=2-2\left(sina.cosb-cosa.sinb\right)\)
\(=2-2sin\left(a-b\right)=2-2sin\frac{\pi}{3}=2-\sqrt{3}\)
